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您家鸡去邻居菜地吃菜被打死，邻居或涉故意毁坏财物甚至故意伤害。您应先报警，并考虑民事索赔。法律依据：《刑法》相关条款规定，故意毁坏他人财物可入刑，故意伤害他人身体也违法。不及时处理，邻居可能面临刑责及民赔。
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对这种情况，常见处理方式为：首先报警，由警方介入调查；其次，视伤害程度考虑是否就医并做伤情鉴定；最后，咨询律师准备索赔事宜。若邻居态度恶劣，拒绝赔偿，您应选择报警并诉讼索赔；若邻居愿协商，您可选择和解或私下调解；若情节轻微，您也可考虑仅报警备案。
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对您家鸡去邻居菜地吃菜被打死的不同情况，以下是具体的操作建议：
1. 若邻居持器械故意打死鸡，且您受伤，应即刻报警并就医，后续考虑刑事附带民事索赔。
2. 若只是打死鸡，未伤您，先与邻居协商赔偿；协商不成，再报警并走民事诉讼流程。
3. 若情节显著轻微，如只是口头争吵，未造成实质伤害，可选择报警备案，以防后续纠纷。
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